Опыт Перрена. Формула (8.3) была использована Перреном для опытной проверки барометрической формулы и для определения постоянной Больцмана (или, что то же, числа Авогадро).

Перрен использовал тот факт, что, как показали его опыты с броуновским движением, небольшие взвешенные частицы можно трактовать как невзаимодействующие молекулы очень больших размеров. Поэтому можно ожидать, что частицы типа броуновских, взвешенные в жидкости и подверженные действию силы тяжести, будут распределяться по высоте так же, как молекулы газа, т. е. по закону (8.3).

Перрен приготовил эмульсии (эмульсия состоит из двух несмешивающихся жидкостей, из которых одна образует мелкие капельки, взвешенные в другой), содержавшие частицы почти одинакового размера и приблизительно шарообразной формы. С помощью микроскопа с очень малой глубиной резкости, установленного вертикально (рис. 9), наблюдалось распределение взвешенных частиц по высоте. Для этого микроскоп фокусировался на слои эмульсии на разных высотах (глубинах). В поле зрения микроскопа оказывались частицы в слое глубиной не более 0,001 мм и совсем не были видны частицы, лежащие выше и ниже. Число частиц в поле зрения было невелико, так что их можно было сосчитать. Число это, очевидно, пропорционально числу частиц n в единице объема. Измерения производились многократно и определялось среднее из многих измерений. Общее число сосчитанных частиц в некоторых сериях опытов достигало многих тысяч. Эти измерения показали, что концентрация частиц действительно убывает с высотой по экспоненциальному закону, выраженному формулой (8.3), в которой, однако, учтена потеря веса частицы по закону Архимеда.

Если масса частицы равна m, то вес ее с учетом подъемной силы Архимеда равен:

,

где r_о - плотность вещества частицы, а r - плотность жидкости, в которой она взвешена. Формула (8.3) примет поэтому вид:

. (8.6)

Из (8.6) следует, что если сосчитать число частиц п₁ и п₂ в поле зрения микроскопа в двух слоях эмульсии x₁ и х₂ то из отношения:

(8.7)

нетрудно определить постоянную Больцмана k, если измерить массу частиц m, их плотность r₀, плотность жидкости r и температуру Т. Последние две величины измеряются общеизвестными методами. Трудно было измерить массу и плотность частиц эмульсии вследствие их малых (микроскопических!) размеров.

Плотность вещества частиц Перрен определил, измерив массу и объем эмульсии. Для этого сначала взвешиванием определялась масса воды М_о, заполняющей определенный сосуд (пикнометр). Отсюда определялся объем пикнометра М₀/r₁ (здесь r₁ - плотность воды). Затем определялась масса M эмульсии (в воде), заполняющей тот же пикнометр. После этого пикнометр с эмульсией помещался в печь, где жидкость полностью испарялась; пикнометр снова взвешивался, в результате чего определялась масса М₂ частиц в эмульсии. Из этих измерений определяется объем воды в эмульсии:

объем частиц эмульсии:

и, следовательно, плотность r₀ вещества частиц:

Радиус частиц эмульсии, которые были почти правильными шариками, Перрен определял, измеряя скорость v их падения в эмульсии, заполняющей капиллярную трубку. На шарик радиусом а, падающий со скоростью v в жидкости, вязкость которой n, действует сила трения, направленная вертикально вверх, равная

Кроме того, на падающий шарик действует направленная вверх архимедова сила, равная

где r - плотность жидкости, и, конечно, сила тяжести

r₀ - плотность вещества шарика. Результирующая двух последних сил

вызывает движение шарика с ускорением g, направленным вниз (r₀ > r). Но по мере увеличения скорости шарика растет сила трения F, которая тормозит его. В результате установится такая постоянная скорость движения шарика, при которой

(8.8)

(8.8)

Именно эту скорость измерял Перрен. Из формулы (8.8) определяются радиус частицы и соответственно ее масса:

Таким образом, все величины, входящие в (8.7), поддаются измерению.

После логарифмирования (8.7) формула для вычисления постоянной Больцмана k имеет вид:

Полученное из опытов Перрена значение k несколько меньше принятого теперь значения. Позже, другими исследователями, этим же методом было получено более точное значение.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА АВОГАДРО

Принадлежности: 1) микроскоп МБИ-2 с осветителем, 2) объект-микрометр, 3) набор предметных и покровных стекол, 4) секундомер, 5) фильтровальная бумага, 6) пипетка, 7) эмульсия.

Введение. Грамм-молекула. любого вещества содержит. одинаковое число молекул N. Число это носит название числа Авогадро

Цель задачи - экспериментальное определение этой чрезвычайно важной физической константы, необходимой для расчетов многих величин в различных областях физики и химии (масса молекулы, заряд электрона и т.д.). В классической работе по изучению броуновского движения Перрен показал, что, пользуясь аналогией газа и эмульсии, можно определить число Авогадро из соотношения:

, (1)

где N - число Авогадро, п₁ и п₂ - число частиц в единице объема на уровнях h₁ и h₂, g' - эффективное ускорение силы тяжести, T - абсолютная температура, R — универсальная газовая постоянная, m - масса частицы.

Для частицы эмульсии, имеющей форму шарика, эффективный вес может быть вычислен по формуле

, (2)

где r — радиус частицы, r— плотность вещества частицы, r₀ — плотность среды. Подставляя (2) в (1) и логарифмируя, получаем

. (3)

Величины n₁, n₂, r, r, r₀, h₂ - h₁ могут быть измерены. Измерить n₁ и п₂ можно двумя способами:

1. С помощью мгновенной фотографии на разных уровнях эмульсии и последующего подсчета резких изображений частиц. Однако частицы малы и все время движутся, поэтому время экспозиции должно быть мало, нужно сильное освещение. Резкие негативы получить трудно.

2. Второй способ основан на том, что броуновские частицы эмульсии, как и молекулы газа, подчиняются закону распределения Больцмана, не зависящему от времени. Уменьшив с помощью

диафрагмы поле зрения микроскопа так, чтобы в поле зрения сразу попадало малое число видимых зернышек (4 - 5), сосчитаем их, повторим такой подсчет достаточное число раз и просуммируем полученные значения.

В силу беспорядочности броуновского движения 150—200 отсчетов вполне заменят фотографию, охватывающую поле зрения в 150 - 200 раз больше. Одинаковое число измерений на разных уровнях позволит определить отношение n₁/n₂. Диафрагмой может служить пластинка из фольги с отверстием, проколотым концом тонкой иглы, помещенная в фокальной плоскости окуляра.

Для правильного подсчета частиц требуется соблюдать следующие основные условия. При применении первого способа площади снимков, на которых подсчитываются п₁ и n₂, должны быть строго одинаковы. При втором способе числа отсчетов на уровнях h₁ и h₂ тоже должны быть строго одинаковыми и достаточно большими (не меньше 150).

В качестве исследуемого объекта в данной задаче используется эмульсия канифоли в воде или в растворе спирта и воды. Если полученную эмульсию освободить от спирта, то она может сохраняться длительное время частицы не, слипаются. В случае присутствия спирта частицы канифоли укрупняются, и эмульсия через трое суток уже для работы непригодна.

Для получения эмульсии. 10 см³ 2%-ного раствора канифоли в спирте вливают по каплям в 15 см² воды при тщательном помешивании. При этом образуется молочно-белая, эмульсия из частиц шарообразной формы. После суток отстоя наиболее крупные частицы выпадают в осадок. Слой эмульсии над осадком годен для опыта. Плотность r₀ среды равна 0,95 г/см³, r канифоли меняется от 1,01 до 1,09 г/см³, поэтому перед составлением 2%-ного раствора рекомендуется ее определить.

Описание установки. Установка состоит из микроскопа МБИ-2, осветителя и стеклянной, тонкой кюветы с исследуемой эмульсией. Изготовить такую кювету можно следующим образом. Две половинки покровного стекла наклеиваются теплым парафином на предметное стекло на некотором расстоянии друг от друга. Промежуток заливается эмульсией и закрывается сверху покровным стеклом (надо следить, чтобы не появлялись пузырьки воздуха). Края кюветы парафинируют, чтобы объект не высыхал. Для работы следует пользоваться монокулярной насадкой.

Окуляр 20x снабжен диафрагмой и служит для отсчета частиц. Окуляр 15х имеет сетку и употребляется для определения среднего радиуса частиц. Работа ведется при светлом поле, осветитель обеспечивает равномерное и одинаковое освещение объекта в течение всей работы.

Измерения. Устанавливают микроскоп и осветитель на нужную яркость поля. На столик микроскопа кладут кювету с эмульсией. Берут объектив с шестидесятикратным увеличением (60x) и с помощью слабого окуляра (10х) фокусируют микроскоп на объект. Работать следует с иммерсионной жидкостью[1]. Фокусировать следует осторожно, чтобы не повредить кювету, лучше из крайнего, нижнего положения объектива, выдвигая его вверх. После фокусировки меняют окуляр на рабочий (20x) с диафрагмой и приступают к счету частиц на данном уровне h₁ (уровень замечают по делениям на барабане микрометрического винта). Производят счет числа частиц, находящихся в данный момент в поле зрения. Рекомендуется производить отсчеты через каждые

5 сек[2]. Следует сделать не менее 150 отсчетов, после чего микрометрическим винтом перемещают вертикально микроскоп на 40 - 150 мкм и производят счет числа частиц на уровне h₂. Число отсчетов должно быть одинаковое. Число частиц, находящихся в поле зрения в данный момент (с интервалом в 5 сек), записывают в таблицу следующей формы:

Уровень	Число частиц в поле зрения
h1 h2	3, 2, 4, 3, 0, 2, 2, 1, 3, 5 и т. д. 0, 1, 2, 0, 1, 0, 0, 3, 1, 2 и т. д.

После окончания счета кювету снимают со столика микроскопа. Отмечают абсолютную температуру Т эмульсии (комнатную).

Определение среднего радиуса частицы производят при помощи окуляра с пятнадцатикратным увеличением (15х) с сеткой. Предварительно надо определить размеры сетки с помощью объект-микрометра. Каплю эмульсии наносят на предметное стекло и дают подсохнуть на воздухе, после чего накрывают покровным стеклом. При высыхании среды зерна эмульсии соединяются цепочками, ими покрывается плотно участок поля. Поэтому можно подсчитать число зерен, имеющихся на стороне квадрата сетки. Подсчет производят 10 раз в разных местах объекта. Эти подсчеты следует делать особенно тщательно, так как наибольшая ошибка обусловлена ошибкой при определении радиуса частицы. Пользуются cредним значением радиуса. Так как работа ведется с иммерсионным слоем, то расстояние h₂ - h₁ измеряемое по барабану микроскопа не равно расстоянию h₂ - h₁ в эмульсии. Следует ввести поправку, равную отношению показателей преломления п₁ эмульсии и n₂ иммерсии, таким образом, истинное расстояние h₂ - h₁ =

Конечная расчетная формула имеет вид:

(4)

Весь проведенный расчет применим к частицам строго одинакового размера. В эмульсии, приготовленной вышеописанным способом, имеются частицы разных размеров, причем кривая распределения частиц по величине имеет максимум. Положение этого максимума зависит от концентрации эмульсии и смещается в сторону больших радиусов при старении. Поэтому для расчета следовало бы пользоваться не средним арифметическим радиусом частицы, а наивероятнейшим, который всегда меньше среднего. Однако получить кривую распределения частиц эмульсии по размерам трудно, к тому же она меняется во времени, приготовить эмульсии с частицами одинакового размера тоже очень сложно, поэтому получаемое по формуле (4) число Авогадро несколько занижено по абсолютной величине.

Постановка задачи в таком виде все же целесообразна. Выполнение ее дает возможность наблюдать броуновское движение, убедится, что имеет место изменение плотности частиц по высоте в поле силы тяжести, и получить на основании собственных измерений число Авогадро, не сильно отличающееся от его точного значения.

---

[1] Кедровое масло с показателем преломления, равным показателю преломления стекла. Вносится между линзой осветителя и объектом, и между объектом и объективом.

[2] Это время может быть произвольным, так как распределение частиц стационарно